LGS Matematik Soruları
LGS Matematik (sınavda 20 soru): 12 konuda 798 özgün soru. Her konunun özeti aşağıda; sorular üyelere açık: ücretsiz giriş yap, uygulamada bildiğin soru bir daha sorulmayacak biçimde çöz.
Uygulamada çözBildiğin soru bir daha sorulmaz, bilmediğin öğrenene kadar tekrar gelirKonular
- Çarpanlar ve Katlar
- Üslü İfadeler
- Kareköklü İfadeler
- Veri Analizi
- Basit Olayların Olma Olasılığı
- Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler
- Doğrusal Denklemler
- Eşitsizlikler
- Üçgenler
- Eşlik ve Benzerlik
- Dönüşüm Geometrisi
- Geometrik Cisimler
Çarpanlar ve Katlar
- Bir doğal sayıyı kalansız bölen sayılara o sayının böleni (çarpanı) denir. Her sayının 1'i ve kendisi böleni vardır; bölenler çiftler hâlinde yazılır (36 için 1·36, 2·18, 3·12, 4·9, 6·6).
- Asal sayı: 1'den büyük olup yalnız 1'e ve kendisine bölünen doğal sayıdır. En küçük asal sayı 2'dir ve tek çift asal sayıdır. 1 ne asaldır ne de bileşik sayıdır.
- Asal çarpanlara ayırma: Sayı, asal sayıların çarpımı olarak yazılır (84 = 2^2 3 7). Ayrışım tektir; tekrar eden çarpanlar üslü yazılır.
- Bölen sayısı: n = p^a q^b r^c ise pozitif bölen sayısı (a+1)(b+1)(c+1)'dir. Bölen sayısı tek olan sayılar tam karelerdir.
- Bölünebilme kuralları: 2 (son rakam çift), 3 (rakamlar toplamı 3'ün katı), 4 (son iki basamak 4'ün katı), 5 (son rakam 0 ya da 5), 6 (2 ve 3'e birlikte), 9 (rakamlar toplamı 9'un katı), 10 (son rakam 0).
- EBOB (en büyük ortak bölen): ortak asal çarpanların en küçük üsleri çarpılarak bulunur. Parçalara bölme, paketleme, kare döşeme gibi "en büyük / eşit parça" problemlerinde kullanılır.
- EKOK (en küçük ortak kat): tüm asal çarpanların en büyük üsleri çarpılarak bulunur. Birlikte tekrarlanan olaylar, ortak zamanlar ve "en az" büyüklükteki istif problemlerinde kullanılır.
- İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir: a b = EBOB(a,b) EKOK(a,b).
- Aralarında asal sayılar: Birden başka ortak böleni olmayan sayılardır (EBOB = 1). Bu durumda EKOK çarpıma eşittir. Ardışık iki doğal sayı ve farklı iki asal sayı daima aralarında asaldır.
- Ortak katlar EKOK'un katlarıdır; ortak bölenler EBOB'un bölenleridir. Bir sayıya her bölündüğünde aynı kalanı verenlerde sayı EKOK k + kalan biçimindedir.
- Kalanlar bölenden hep 1 (ya da hep aynı sayıda) eksikse sayıya o fark eklenerek EKOK kullanılır: 6'ya bölünce 5, 8'e bölünce 7 kalan en küçük sayı 24 − 1 = 23'tür.
- Problem ipuçları: "en büyük, en çok kare/parça" → EBOB; "en az, ilk kez, birlikte" → EKOK. Çevreye eşit aralıkla dizilen nesne sayısı çevre/aralık, doğru üzerinde ise bir fazlasıdır.
Üslü İfadeler
- Üslü ifade: a^n ifadesinde a taban, n üstür. n pozitif tam sayı iken a^n, a'nın kendisiyle n kez çarpımıdır: 2^4 = 2222 = 16.
- Negatif tabanda: Çift kuvvet pozitif, tek kuvvet negatif sonuç verir. (-2)^4 = 16, (-2)^3 = -8. Parantez önemlidir: -2^4 = -16 iken (-2)^4 = 16'dır.
- Sıfırıncı ve negatif kuvvet: a 0 için a^0 = 1 ve a^-n = 1a^n. Kesirlerde (ab)^-n = (ba)^n olur. Negatif üs sonucu negatif yapmaz.
- Çarpma ve bölme: a^m a^n = a^m+n ve a^ma^n = a^m-n (a 0). Tabanlar eşitken üsler toplanır ya da çıkarılır; tabanlar farklıysa önce ortak tabana getirilir.
- Üssün üssü ve çarpımın kuvveti: (a^m)^n = a^m n, (a b)^n = a^n b^n, (ab)^n = a^nb^n. a^m^n ile (a^m)^n aynı değildir.
- Toplama ve çıkarmada üs kuralı yoktur: 2^3 + 2^3 = 22^3 = 2^4 ancak 2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24'tür. En ortak çarpan paranteze alınır: 3^n+2 - 3^n = 3^n(9-1).
- Üslü denklemler: Tabanlar eşit ve 1'den farklıysa üsler de eşittir. 2^x+1 = 32 = 2^5 ise x+1 = 5. Taban eşitleme için 4 = 2^2, 8 = 2^3, 9 = 3^2, 27 = 3^3 gibi eşitlikler kullanılır.
- Karşılaştırma: Tabanı 1'den büyük olan üslü ifadelerde tabanlar eşitse üssü büyük olan büyüktür; üsler eşitse tabanı büyük olan büyüktür. Farklı tabanlarda ortak üs ya da ortak taban bulunur (2^60 ile 3^40 için üsler 10'a getirilir).
- 10'un kuvvetleri: 10^n, 1'in ardından n sıfır yazılan sayıdır (10^6 = 1 milyon). 10^-n = 110^n ondalık gösterimde virgülden sonra n. basamakta 1 bulunan sayıdır (10^-3 = 0,001).
- Ondalık gösterimin çözümlenmesi: Her rakam basamak değeriyle yazılır. 200,503 = 210^2 + 510^-1 + 310^-3. Virgülün solunda üsler 0, 1, 2, sağında -1, -2, -3, diye gider.
- Bilimsel gösterim: a 10^n biçimindedir; 1 |a| < 10 ve n tam sayıdır. Büyük sayıların üssü pozitif (45\,000 = 4,510^4), küçük sayıların üssü negatiftir (0,0007 = 710^-4).
- Bilimsel gösterimle işlem: Çarpmada katsayılar çarpılır, 10'un kuvvetlerinin üsleri toplanır; bölmede katsayılar bölünür, üsler çıkarılır. Toplama için üsler eşitlenir. Sonuç katsayısı 10'dan büyük çıkarsa bilimsel gösterime tekrar düzenlenir.
- Çok büyük ve çok küçük ölçüler: Işık hızı 310^8 m/s, ışık yılı 9,510^12 km, 1 nanometre = 10^-9 m, 1 mikrometre = 10^-6 m. Birimler aynı cinse getirildikten sonra işlem yapılır.
Kareköklü İfadeler
- Tam kare sayı, bir doğal sayının karesi olan sayıdır (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225…). Bir tam karenin birler basamağı 2, 3, 7 ya da 8 olamaz.
- Karekök, karesi verilen sayıya eşit olan pozitif sayıdır: a=b ise b^2=a (a 0, b 0). Karekök alma ile kare alma birbirinin ters işlemidir: (a)^2=a.
- Tam kare olmayan bir sayının karekökü bir doğal sayı değildir. Böyle bir sayı iki ardışık tam kare arasında kalır ve karekökü iki ardışık doğal sayı arasındadır: 4^2<20<5^2 olduğundan 4<20<5.
- Karekök tahmini: n değeri, n'ye en yakın tam kareye karşılık gelen doğal sayıya yakındır. Karar vermek için iki ardışık doğal sayının ortasının (ör. 4,5) karesine bakılır: 4,5^2=20,25 olduğundan 20 4'e yakındır; 21 ise 5'e yakındır.
- ab biçiminde yazma: kök içindeki sayıdan tam kare çarpan dışarı katsayı olarak çıkar: 72=36 2=62. Kök içi, tam kare çarpan kalmayana kadar sadeleştirilir.
- Katsayıyı kök içine alma: ab=a^2 b (a 0). Örnek: 35=45. Bu yolla kareköklü sayılar karşılaştırılır: kök içi büyük olan sayı büyüktür.
- Toplama ve çıkarma yalnızca kök kısımları aynı olan terimler arasında yapılır; katsayılar toplanır ya da çıkarılır, kök aynen yazılır: 35+45=75. Önce her terim sadeleştirilir: 45+20=35+25=55.
- Çarpma ve bölmede katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında işleme girer: ab cd=acbd ve bd=bd. Karekök toplamaya ve çıkarmaya dağılmaz: 9+169+16.
- Ondalık ifadelerin karekökünde virgülden sonraki basamak sayısı yarıya iner: 0,49=0,7, 0,0036=0,06, 2,25=1,5. Kesirlerin karekökü payın ve paydanın karekökünün oranıdır: 925=35.
- Rasyonel sayılar ab (b 0, a ve b tam sayı) biçiminde yazılabilen sayılardır; ondalık gösterimleri sonlu ya da devirlidir. Tam kare olmayan doğal sayıların kareköklü ifadeleri ile gibi sayılar irrasyoneldir; ondalık gösterimleri sonsuz ve devirsizdir.
- Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıların birleşimi gerçek sayılar kümesidir. Her gerçek sayı sayı doğrusunda tek bir noktaya karşılık gelir; sayı doğrusundaki her nokta da bir gerçek sayıdır.
- Gerçek sayılarda karşılaştırma yaparken kareköklü sayılar yaklaşık değerlere ya da kök içine alınarak karşılaştırılır. İki irrasyonel sayının toplamı, farkı, çarpımı ya da bölümü rasyonel olabilir: 28=4, (2+3)+(2-3)=4.
- Karenin kenarı alanının kareköküdür: a=A. Alanı tam kare olmayan bir karenin kenarı kareköklü bir ifadedir; çevre 4a ile bulunur. Problemlerde kareköklü kenarlarla işlem yaparken xx=x özelliği sık kullanılır.
Veri Analizi
- Veri, sayı ya da sözcük olarak toplanan bilgidir. Veriler tablo ile düzenlenir; sütun, çizgi ve daire grafikleriyle gösterilir. Hangi grafiğin seçileceği verinin türüne ve anlatılmak istenen amaca bağlıdır.
- Sütun grafiği, farklı kategorilerin büyüklüklerini karşılaştırmak için kullanılır. Sütunlar eşit genişlikte, eşit aralıklıdır; yükseklik değeri gösterir. Eksen 0'dan başlamıyorsa sütun yükseklikleri değerlerle orantılı olmaz ve grafik yanıltıcı olabilir.
- Çizgi grafiği, zamana bağlı değişimi gösterir. Ardışık noktaları birleştiren doğru parçası yukarı çıkıyorsa artış, aşağı iniyorsa azalma, yatay ise değişmeme demektir. Eğim ne kadar dikse değişim o kadar hızlıdır.
- Daire grafiği, bir bütünün parçalara dağılımını gösterir. Dilimlerin merkez açıları toplamı 360°'dir. Daire grafiği oran verir, sayı vermez; sayıyı bulmak için toplam değer bilinmelidir.
- Merkez açısı hesabı: dilimin merkez açısı =parçanın değeritoplam değer 360^. Tersine, dilimin yüzdesi =merkez açısı360^ 100 ve dilimin değeri = toplam merkez açısı360^ ile bulunur.
- Yüzde ile merkez açısı arasındaki dönüşümler: %100 → 360°, %50 → 180°, %25 → 90°, %10 → 36°, %1 → 3,6°. Merkez açısı yüzdeyle aynı sayı değildir; 36° bütünün %10'udur.
- Veriyi bir grafikten başka bir grafiğe dönüştürürken önce toplam bulunur, sonra her kategorinin payı hesaplanır. Sütun grafiğinden daire grafiğine geçişte sütun değerleri açıya, daire grafiğinden sütun grafiğine geçişte açılar sayıya çevrilir.
- İki daire grafiği karşılaştırılırken toplamlar farklıysa, aynı yüzdelere sahip dilimler aynı sayıyı göstermez. Sayıları karşılaştırmak için her grafiğin toplamı bilinmelidir; yalnızca açılara bakarak sayı kıyası yapılamaz.
- Aritmetik ortalama = veri toplamı / veri sayısı. Ortalama bilindiğinde toplam, ortalama ile veri sayısının çarpımıdır. Farklı büyüklükteki grupların ortak ortalaması, grup ortalamalarının basit ortalaması değil, ağırlıklı ortalamasıdır.
- Ortanca (medyan), veriler sıralandığında ortadaki değerdir; veri sayısı çiftse ortadaki iki verinin ortalaması alınır. Mod (tepe değeri), en çok tekrar eden değerdir. Açıklık, en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.
- Yüzde değişim, değişim miktarının başlangıç değerine oranıdır: son değer-ilk değerilk değer 100. Ardışık yüzde değişimler toplanmaz, çarpılarak birleştirilir; %50 artış ve ardından %20 azalış toplamda %20 artıştır.
- Grafik yorumlarında her yargı, grafikten doğrudan okunan ya da hesaplanabilen bilgiyle sınanır. Verilerin eksik olduğu yargılar (örneğin toplam bilinmeden daire grafiğinden sayı karşılaştırmak) kesin olarak doğrulanamaz.
- Çizgi grafiğinde yol-zaman ilişkisinde ortalama hız = toplam yol / toplam süre (mola süresi dahil). Yatay doğru parçası araç durduğunda yolun değişmediğini gösterir.
Basit Olayların Olma Olasılığı
- Deneysel olasılık, deney tekrarlanarak bulunur (gerçekleşme sayısı / deney sayısı); teorik olasılık eş olasılıklı durumlardan hesaplanır. Deney sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır; beklenen sayı = olasılık × deney sayısıdır.
- Bir deneyin bütün olası sonuçlarına olası durumlar denir. Olası durumları saymak için liste, tablo veya ağaç diyagramı kullanılır; birbirinden bağımsız seçimlerde çarpma yoluyla sayma yapılır (3 gömlek, 4 pantolon → 12 kombin).
- Olasılık, uygun sonuçların sayısının bütün sonuçların sayısına bölünmesiyle bulunur: P = uygun / tüm. Sonuç kesir, ondalık sayı veya yüzde olarak yazılabilir.
- Her olasılık 0 ile 1 arasındadır: 0 ≤ P ≤ 1. Olasılık negatif ya da 1’den büyük olamaz.
- Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaya imkânsız olay denir; olasılığı 0’dır. Mutlaka gerçekleşen olaya kesin olay denir; olasılığı 1’dir.
- Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1’dir: P(A) + P(A’) = 1. Bu nedenle ‘olmama’ olasılığı 1 − P(A) ile bulunur.
- Olası durumların her birinin gerçekleşme şansı eşitse bu durumlara eş olasılıklı denir. Hilesiz zar, adil para ve özdeş toplar eş olasılıklı deneylerdir.
- Rastgele seçim ‘her birinin seçilme şansı eşit’ demektir. Özdeş toplardan rastgele top çekmek, çarkta oku çevirmek rastgele seçime örnektir.
- Bir torbaya top eklenirse ya da çıkarılırsa hem istenen durum sayısı hem de tüm durum sayısı değişebilir; olasılığı yeniden hesaplamak gerekir. Aynı renkten ekleme olasılığı artırır, diğer renkten ekleme azaltır.
- Oranı koruyarak ekleme (ör. 6 kırmızı–4 mavi torbaya 3 kırmızı–2 mavi ekleme) olasılığı değiştirmez; eşit sayıda ekleme olasılığı 1/2’ye yaklaştırır.
- Daire grafiğinde bir dilimin olasılığı, dilim açısının 360°’ye oranıdır. Tablo ve grafikten durum sayıları okunarak olasılık hesaplanır.
- ‘Veya’ içeren olaylarda her durum bir kez sayılır (ortak durumlar iki kez sayılmaz). Örnek: 1–40 arasında 3 veya 5’in katı: 13 + 8 − 2 = 19.
- Bilinmeyen sayılı problemlerde olasılığı kesre eşitleyip denklem kurulur; çözüm kontrol edilir. Olasılığı eşit yapma, belirli bir değere getirme soruları bu yolla çözülür.
Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler
- Cebirsel ifadede sayı çarpanına katsayı, yalnız sayıdan oluşan terime sabit terim denir. Değişkenleri ve üsleri aynı olan terimlere benzer terim denir; yalnızca benzer terimler toplanır ya da çıkarılır.
- Dağılma özelliği: a(b + c) = ab + ac. Çok terimli iki ifade çarpılırken her terim diğer ifadenin her terimiyle çarpılır, sonra benzer terimler toplanır. Parantezin önündeki eksi işareti içindeki tüm terimlerin işaretini değiştirir.
- Tam kare özdeşlikleri: (a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a − b)² = a² − 2ab + b². Ortadaki 2ab terimi unutulmamalı, son terim her zaman pozitif olmalıdır.
- İki kare farkı: (a − b)(a + b) = a² − b². Çarpımda ortadaki terimler birbirini götürür. Bu özdeşlik sayısal işlemleri kolaylaştırır (ör. 99 · 101 = 100² − 1 = 9999).
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab. Orta terimin katsayısı sayıların toplamı, sabit terim sayıların çarpımıdır; sayılar negatifse işaretlere dikkat edilir.
- Özdeşlik, değişkenin her değeri için doğru olan eşitliktir. (a + b)² = a² + b² gibi eşitlikler özdeşlik değildir; yalnızca bazı değerler için sağlanabilir.
- Çarpanlara ayırma çarpmanın tersidir. Önce ortak çarpan parantezine alınır (6x + 12 = 6(x + 2)); dört terimli ifadelerde gruplama yapılır (mx + my + 3x + 3y = (x + y)(m + 3)); sonra uygun ise özdeşlikler kullanılır. En büyük ortak çarpan seçilirse ifade tam ayrışmış olur.
- a² − b² = (a − b)(a + b) ve a² ± 2ab + b² = (a ± b)² çarpanlarına ayırmada kullanılır. Tam karede ilk ve son terim bir ifadenin karesi, orta terim bunların çarpımının iki katıdır.
- Sayısal işlemlerde özdeşlik kullanımı: 101² = (100 + 1)², 49² = (50 − 1)², 52² − 48² = (52 − 48)(52 + 48). Uygun biçime getirince zor işlemler kolaylaşır.
- Alan modellerinde kare alanı kenarın karesi, dikdörtgen alanı kenarların çarpımıdır. Büyük bir şeklin alanından çıkarılan parçaların alanı bulunarak kalan bölgenin alanı hesaplanır.
- Cebir karolarıyla model: x² büyük kare, x uzun dikdörtgen, 1 küçük kare. Bu parçalarla oluşan dikdörtgenin kenarları, toplam alan ifadesinin çarpanlarıdır (x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)).
- (a + b)² ve (a − b)² açılımlarından x² + y², xy ve (x ± y)² arasındaki bağıntılar elde edilir: x² + y² = (x + y)² − 2xy ve (x − y)² = (x + y)² − 4xy. Katsayılar toplamı x = 1, sabit terim x = 0 yazılarak bulunur.
Doğrusal Denklemler
- Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ax + b = c biçimindedir (a 0). Çözmek için eşitliğin her iki yanına aynı işlem uygulanır: önce sabitler bir yana toplanır, sonra x'in katsayısına bölünür. Parantez varsa dağılma özelliği, kesir varsa paydaların ortak katıyla genişletme kullanılır.
- Problem çözerken bilinmeyen x seçilir, cümle matematik diline çevrilir (“3 katının 5 fazlası” 3x + 5), denklem çözülür ve sonuç soruya cevap verecek biçimde yorumlanıp kontrol edilir. Ardışık sayılar x, x+1; ardışık çift veya tek sayılar x, x+2 biçiminde yazılır.
- Koordinat sistemi, 0 noktasında dik kesişen yatay x ekseni (apsis) ile dikey y ekseninden (ordinat) oluşur. Bir nokta (a, b) sıralı ikilisiyle gösterilir; (a,b) (b,a)'dır. Eksenlerin kesiştiği (0,0) noktasına orijin denir.
- Eksenler düzlemi 4 bölgeye ayırır: 1. bölge (+,+), 2. bölge (-,+), 3. bölge (-,-), 4. bölge (+,-). x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı, y ekseni üzerindeki noktaların apsisi 0'dır. (a,b) noktasının x eksenine uzaklığı |b|, y eksenine uzaklığı |a|'dır.
- Simetri: (a,b) noktasının x eksenine göre simetriği (a,-b), y eksenine göre simetriği (-a,b), orijine göre simetriği (-a,-b)'dir. Aynı yatay ya da dikey doğru üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, değişen koordinatların farkının mutlak değeridir.
- Bir değişkenin değişimi, diğerinin değişimiyle sabit oranda ilişkiliyse ilişki doğrusaldır. Tabloda x eşit adımlarla artarken y de her adımda aynı miktarda artıyor ya da azalıyorsa tablo doğrusal ilişkiyi gösterir; grafiği bir doğrudur.
- Doğrusal ilişki y = ax + b denklemiyle gösterilir: a eğimdir (birim değişim hızı), b ise doğrunun y eksenini kestiği (0, b) noktasının ordinatıdır (başlangıç değeri). b = 0 ise doğru orijinden geçer (y = ax).
- Eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır: (x_1,y_1) ve (x_2,y_2) noktaları için m = y_2 - y_1x_2 - x_1. Eğim pozitifse doğru artan, negatifse azalan, 0 ise yataydır. Dikey doğruların (x = c) eğimi tanımsızdır. Yatay doğru y = c, x eksenine paraleldir.
- Eğim yüzde olarak da ifade edilir: 320 = \%15. Rampa, merdiven ve çatı gibi günlük hayat durumlarında eğim hesaplanırken hipotenüs değil yatay uzunluk kullanılır; gerektiğinde Pisagor bağıntısıyla eksik uzunluk bulunur.
- İki doğru paralelse eğimleri eşittir (sabit terimleri farklıysa çakışmazlar). Bir nokta doğru üzerindeyse koordinatları doğrunun denklemini sağlar. Doğrunun x eksenini kestiği nokta y = 0, y eksenini kestiği nokta x = 0 yazılarak bulunur.
- Doğru denklemi yazmak için eğim iki noktadan hesaplanır, sonra bir noktanın koordinatı y = ax + b'de yerine yazılarak b bulunur. Üç nokta ancak ikili eğimleri eşitse doğrusaldır. Eksenlerle bir doğrunun oluşturduğu üçgenin alanı 12|x_kesim||y_kesim| ile bulunur.
- Günlük hayat problemlerinde (taksi ücreti, abonelik, kumbara, mum boyu, yol-zaman) sabit kısım b'ye, birim başına değişim a'ya karşılık gelir. İki durumun eşitlendiği an, iki doğrusal ifadenin birbirine eşitlenmesiyle bulunur: a_1x + b_1 = a_2x + b_2.
Eşitsizlikler
- Eşitsizlik, iki ifadenin < (küçük), > (büyük), (küçük eşit) ya da (büyük eşit) simgelerinden biriyle karşılaştırılmasıdır. “En az” , “en çok” , “fazla/büyük” >, “az/küçük” < ile ifade edilir; “büyük değildir” ise demektir.
- Eşitsizlikler sayı doğrusunda gösterilir. Eşitlik durumu çözüme dâhilse nokta içi dolu daireyle, dâhil değilse içi boş daireyle işaretlenir; çözüm bölgesi ok yönünde boyanır. x 4 içi dolu daire ve sağa doğru; x < -1 içi boş daire ve sola doğru boyanır.
- Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik ax + b < c biçimindedir (diğer simgelerle de). Denklem gibi çözülür: sabitler bir yana, x'li terimler diğer yana toplanır, sonra x'in katsayısına bölünür. Çözüm tek bir sayı değil, bir sayı aralığıdır.
- Eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenirse ya da her iki yanından aynı sayı çıkarılırsa yön değişmez. Pozitif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse yön yine değişmez. Negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişir: -2x < 8 \Rightarrow x > -4.
- Çözüm kümesi, eşitsizliği sağlayan bütün sayılardır. Sayı kümesi (doğal sayı, tam sayı, pozitif tam sayı) belirtilmişse çözüm bu kümeyle sınırlanır. Doğal sayılar 0'dan başlar; x < 4 için doğal sayı çözümleri 0, 1, 2, 3'tür.
- a < x < b ya da a x b biçimindeki ifadeler x'in iki sınır arasında olduğunu söyler. Sayı doğrusunda iki daire arasındaki bölge boyanır; uç dâhilse daire içi dolu, değilse içi boştur. Tam sayı çözümler uçların dâhil olup olmamasına göre sayılır: 5 < x < 9 için 6, 7, 8; -2 < x 3 için -1, 0, 1, 2, 3.
- Tam sayılarda x > 4 ile x 5 aynı çözümü verir. “En büyük tam sayı” veya “en küçük tam sayı” istenirse çözüm aralığının uç değerine bakılır: x < 3 için en büyük tam sayı 2, x 4 için en küçük tam sayı 4'tür.
- Bir eşitsizliğin çözümü, sınır değeri ve sınırın iki yanından birer değer yerine yazılarak kontrol edilir. Sınır değer çözümü sağlıyorsa dâhildir (, ); sağlamıyorsa dâhil değildir (<, >). Yön yanlış çıkıyorsa negatif sayıyla işlemde yön değişimi unutulmuş olabilir.
- Problemlerde “en az, en çok, en fazla, en az kadar, aşmamak, yetmek, ucuz olmak” gibi ifadeler uygun eşitsizliğe çevrilir. Çözüm tam sayı olması gereken bir nicelikse (kişi, koli, defter, saat) bulunan aralıktaki uygun tam sayı seçilir; örneğin x 29,1 ise en çok 29.
- İki seçenek karşılaştırılırken (iki tarife, aylık-yıllık paket) iki ifade eşitsizlikle karşılaştırılır: 30 + 2x < 12 + 3x \Rightarrow x > 18. Eşitlik noktası tarifelerin eşit olduğu yerdir; ondan sonra hangi seçeneğin avantajlı olduğu eşitsizliğin yönünden anlaşılır.
- Doğru denklemiyle ilişki: y = 2x - 1 doğrusu üzerinde ordinatı 5'ten büyük noktaların apsisi 2x - 1 > 5 eşitsizliğinden x > 3 bulunur. Uzunluk, kütle ve adet gibi büyüklükler pozitif olmalıdır; çözüm bu koşula ve soruda verilen sayı kümesine (doğal sayı, tam sayı) göre belirlenir.
- Kontrol alışkanlığı: bulunan sınır değeri ve sınırın iki yanından birer değeri eşitsizlikte deneyin. Üçgen eşitsizliği (|a-b| < c < a+b) kenar uzunluğu problemlerinde aralık verir: kenarları 5 ve 9 olan üçgenin üçüncü kenarı için 4 < x < 14.
Üçgenler
- Yardımcı elemanlar: kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştirir ve o kenarı eşit iki parçaya böler; üç kenarortay üçgenin iç bölgesinde tek noktada kesişir. Açıortay köşedeki açıyı iki eş açıya ayırır. Yükseklik, köşeden karşı kenara (ya da uzantısına) çizilen dik doğru parçasıdır.
- Yüksekliğin konumu üçgenin türüne bağlıdır: dar açılı üçgende üç yükseklik de içeridedir; dik üçgende iki yükseklik dik kenarların kendisidir; geniş açılı üçgende geniş açının köşesinden inen yükseklik içeride, diğer ikisi dışarıda (kenar uzantısına) iner.
- İkizkenar üçgende tepe köşesinden tabana inen yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır; tabanı ortalar. Eşkenar üçgende üç köşeden inen yardımcı elemanların hepsi bu özelliği taşır ve birbirine eşittir. Taban açıları eşit olan üçgen ikizkenardır.
- İç açıların toplamı 180° dir. Kenar–açı ilişkisi: büyük açının karşısındaki kenar uzun, küçük açının karşısındaki kenar kısadır; eşit açıların karşısındaki kenarlar eşittir. En uzun kenar en büyük açının karşısındadır; dik üçgende bu kenar hipotenüstür.
- Üçgen eşitsizliği: bir üçgenin her kenarı, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür. İki kenarı a ve b olan üçgenin üçüncü kenarı c için |a − b| < c < a + b dir. Eşitlik durumunda üçgen oluşmaz. Tam sayı değer saymada ve çevrenin en büyük ya da en küçük değerini bulmada bu aralık kullanılır.
- Üçgen çizimi için yeterli bilgiler: üç kenar uzunluğu (eşitsizlik sağlanmalı), iki kenar ve aralarındaki açı, iki açı ve ortak kenar (iki açının toplamı 180° den küçük olmalı). Bu bilgilerle tek bir üçgen elde edilir. Yalnızca üç açı verilirse boyutu farklı sonsuz sayıda benzer üçgen çizilebilir.
- Pisagor bağıntısı: iki dik kenar uzunluğunun ayrı ayrı karesi alınıp toplanırsa hipotenüsün karesi elde edilir; a² + b² = c². Hipotenüs, 90° lik açının karşısındaki en uzun kenardır. Tersi de doğrudur: bir üçgenin en uzun kenarının karesi diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse üçgen diktir.
- Sık kullanılan Pisagor üçlüleri: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve bunların katları (6-8-10, 9-12-15, 12-16-20, 10-24-26 gibi). Karekök hesabında 169 = 13², 289 = 17², 225 = 15², 576 = 24² gibi tam kareleri tanımak işlemi hızlandırır.
- Özel uzunluklar: kenarı a olan karenin köşegeni a2; kenarları a ve b olan dikdörtgenin köşegeni a^2 + b^2; ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü, dik kenar · 2. Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar, bu yüzden kenar = (e/2)^2 + (f/2)^2 olur.
- Yükseklik çizerek dik üçgen elde etmek: ikizkenar üçgende yükseklik tabanı ortalar (yan kenar l, taban t ise h = l^2 - (t/2)^2). Dik yamukta eğik kenar h^2 + (B - b)^2, ikizkenar yamukta yan kenarın dik üçgenindeki yatay kenar (B − b) / 2 dir. Eşkenar üçgenin kenarı a ise yüksekliği a32 dir.
- Hipotenüse ait yükseklik, alanın iki biçimde yazılmasıyla bulunur: dik kenarlar çarpımı = hipotenüs · yükseklik. Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır. İki dik üçgenin hipotenüs ve dik kenarları birbirine bağlanıp ardışık Pisagor adımlarıyla çözülebilir.
- Uygulamalar: yere dik direk–merdiven–halat, yatay ve düşey hareketlerin bileşkesi (doğuya + kuzeye), arsada köşegen kısayolu, kırık direk gibi durumlar bir dik üçgene indirgenir. Karekök bir tam sayı değilse iki ardışık tam kare arasına yerleştirilerek 13 nin 3 ile 4 arasında olduğu gibi tahmin edilir.
Eşlik ve Benzerlik
- Eş şekiller: biçimleri ve ölçüleri aynıdır; biri diğerinin üzerine tam oturur. Karşılıklı açıları ve karşılıklı kenarları eşit, çevreleri ve alanları eşittir. ≅ simgesiyle yazılır ve köşeler sırasıyla eşleşir (ABC ≅ DEF için A↔D, B↔E, C↔F).
- Eş üçgenler: üç kenarı sırasıyla eşit olan üçgenler eştir; iki kenar ve aralarındaki açı ya da iki açı ve bir kenar eşit olduğunda da üçgenler eş olur. Yalnızca açıların eşit olması eşlik için yetmez, benzerlik verir. Çevre ya da alanın eşit olması da eşlik belirtmez.
- Benzer şekiller: görünüşleri aynı, ölçüleri farklı olabilen şekillerdir. Karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılıdır. Eş şekiller benzerlik oranı 1 olan benzer şekillerdir; ancak benzer şekiller her zaman eş değildir.
- Benzerlik oranı, karşılıklı kenar uzunluklarının oranıdır. Hangi şeklin hangisine oranlandığına dikkat edilir: ABC nin DEF ye oranı k ise DEF nin ABC ye oranı 1/k dır. Oran 1 den büyükse büyütme, küçükse küçültme söz konusudur. Çevre, yükseklik ve köşegen gibi karşılıklı doğrusal uzunluklar da aynı oranı verir.
- Her zaman benzer olanlar: iki kare, iki eşkenar üçgen, iki daire, kenar sayıları aynı olan iki düzgün çokgen. Her zaman benzer olmayanlar: iki dikdörtgen, iki ikizkenar üçgen, iki eşkenar dörtgen, iki paralelkenar. Dikdörtgenlerde kenar oranlarının eşit olması gerekir; kenarlara eşit miktar eklemek benzerliği bozar.
- Benzer üçgenler: iki açısı sırasıyla eşit olan üçgenler benzerdir (üçüncü açılar da eşit olur). Üç kenarı orantılı olan üçgenler de benzerdir. Benzer üçgenlerde eş açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır; bu yüzden köşe eşleşmesi doğru kurulmalıdır.
- Paralellik ve benzerlik: bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, ortak açıyla birlikte küçük bir benzer üçgen oluşturur (DE // BC ise ADE ~ ABC). Yamukta paralel kenarlara karşı gelen köşegen parçaları iç ters açılarla benzer iki üçgen verir (AEB ~ CED).
- Çevre: benzerlik oranı k ise çevreler de k oranındadır; bu yüzden çevreler verildiğinde oran çevrelerin oranından bulunur. Alan sorulduğunda önce karşılık gelen kenarlar oranla bulunur, sonra alan bu kenarlardan hesaplanır (alan oranla doğrudan çarpılmaz).
- Ölçek: harita (maket, plan) üzerindeki uzunluğun gerçek uzunluğa oranıdır. 1/500 000 ölçekte 1 cm gerçekte 500 000 cm = 5 km dir. Birimleri aynı cinse çevirmek gerekir (1 km = 100 000 cm). Harita büyütülürse ölçeğin paydası küçülür; küçültülürse büyür.
- Gölge problemleri: aynı anda güneş ışınları paraleldir; her cismin boyu ile gölgesi dik üçgen oluşturur ve bu üçgenler benzerdir, yani boy/gölge oranı sabittir. Işık kaynağı–cisim–perde düzeninde uzunluklar kaynağa olan uzaklıklarla orantılıdır. Lamba altında gölge g ise büyük üçgenin tabanı uzaklık + g alınır.
- Büyütme ve küçültme: %25 küçültme uzunlukların 3/4 üne, %50 küçültme 1/2 sine inmesidir. Birden çok dönüşümde oranlar çarpılır (1/2 ve sonra 3/2 → 3/4). Fotoğraf ve afiş boyutlarında en–boy oranı korunursa şekil benzer kalır.
- Pisagor ile bağlantı: benzer dik üçgenlerde hipotenüsler de benzerlik oranıyla orantılıdır. 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 üçlüleri ve katları sıkça görülür.
Dönüşüm Geometrisi
- Koordinat sistemi: birbirine dik iki sayı doğrusunun (yatay x ekseni, düşey y ekseni) kesişimi orijindir (0, 0). Bir nokta (apsis, ordinat) = (x, y) sıralı ikilisiyle gösterilir. Eksenler düzlemi I, II, III, IV. bölgeye ayırır: I (+,+), II (−,+), III (−,−), IV (+,−).
- Dönüşüm geometrisinde öteleme ve yansıma, bir şeklin biçimini ve boyutunu değiştirmeden yalnızca konumunu değiştirir. Bu nedenle kenar uzunlukları, açı ölçüleri, çevre ve alan değişmez; şekil ile görüntüsü eştir.
- Öteleme: şeklin her noktası aynı yönde ve aynı miktarda kaydırılır. Sağa a birim: (x, y) → (x + a, y); sola a birim: (x − a, y); yukarı b birim: (x, y + b); aşağı b birim: (x, y − b). Öteleme şeklin yönünü değiştirmez.
- x eksenine göre yansıma: (x, y) → (x, −y). Apsis aynı kalır, ordinatın işareti değişir. Nokta ile görüntüsü aynı dikey doğru üzerindedir ve aralarındaki uzaklık 2|y| birimdir.
- y eksenine göre yansıma: (x, y) → (−x, y). Ordinat aynı kalır, apsisin işareti değişir. Nokta ile görüntüsü aynı yatay doğru üzerindedir ve aralarındaki uzaklık 2|x| birimdir.
- Yansıma ekseni üzerindeki noktalar yerinde kalır. Bir nokta ile görüntüsü yansıma eksenine eşit uzaklıktadır ve ikisini birleştiren doğru parçası eksene diktir. Şekil üzerinde verilen bir doğruya göre yansımada da aynı ilke geçerlidir: şeklin her noktası doğrunun öbür tarafında, doğruya aynı uzaklıkta bir noktaya gider.
- Yansımada şeklin yönü ters çevrilir (köşelerin saat yönü sıralaması tersine döner); ötelemede yön korunur. Bu yüzden yansıma 'ayna görüntüsü', öteleme 'kayma' olarak düşünülür.
- Aynı eksene göre iki kez yansıma, şekli başlangıç konumuna getirir. x eksenine ve y eksenine göre art arda yansıma, sıra fark etmeksizin (x, y) → (−x, −y) sonucunu verir.
- Ardışık dönüşümlerde sıra önemlidir: ötelemeyle yansıma çoğunlukla yer değiştirdiğinde farklı sonuç verir. Çok adımlı işlemlerde her adımın sonucu bir sonraki adımın başlangıcı olarak adım adım yazılır; sonuçtan geriye gitmek için işlemler ters sırayla tersine çevrilir.
- Ardışık iki öteleme tek bir ötelemeye eşdeğerdir (yatay ve düşey miktarlar ayrı ayrı toplanır). Aynı eksene göre iki yansıma noktayı yerine getirir; x ve y eksenine göre art arda yansıma sıra değişse de aynı sonucu verir. x eksenine göre yansıma ile yatay öteleme, y eksenine göre yansıma ile düşey öteleme sırası değişse de sonuç aynıdır.
- Çokgenin görüntüsünü bulmak için yalnızca köşe noktaları dönüştürülür, sonra aynı sırayla birleştirilir. Görüntü köşeleri ile asıl köşeler arasındaki uzaklıklar ve iki köşe arasındaki uzunluklar Pisagor bağıntısıyla (yatay fark² + düşey fark²) hesaplanır.
- En kısa yol problemleri yansımayla çözülür: bir doğru üzerindeki noktadan geçerek iki nokta arasında gidilecek en kısa yol, noktalardan birinin yansıması alınarak iki nokta arası doğrusal uzaklığa dönüşür.
Geometrik Cisimler
- Dik prizma: alt ve üst tabanları eş çokgen, yan yüzleri dikdörtgendir. Tabanı n kenarlı dik prizmada köşe sayısı 2n, ayrıt sayısı 3n, yüz sayısı n + 2'dir. Tabanına göre üçgen dik prizma, kare dik prizma, dikdörtgenler prizması, küp... adını alır.
- Prizmanın hacmi = taban alanı × yükseklik. Dikdörtgenler prizmasında V = a·b·c; küpte V = a³. Yanal alan = taban çevresi × yükseklik; toplam yüzey alanı = yanal alan + 2 × taban alanı. Dikdörtgenler prizmasında toplam alan 2(ab + ac + bc), küpte 6a²'dir.
- Dik dairesel silindir: iki eş daire tabanı ve bir eğrisel yanal yüzeyi vardır. Açınımı iki daire ile kenarları 2πr (taban çevresi) ve h (yükseklik) olan bir dikdörtgendir.
- Silindirin yanal alanı = 2πrh; taban alanı = πr²; toplam alanı = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r). Hacmi V = πr²h. Kapaksız kutuda yalnız bir taban hesaba katılır.
- Dik piramit: tabanı düzgün çokgen, yan yüzleri tepe noktasında birleşen eş ikizkenar üçgenlerdir; tepe noktasından tabana indirilen dik, piramidin yüksekliğidir. Tabanı n kenarlı piramitte köşe sayısı n + 1, ayrıt sayısı 2n, yüz sayısı n + 1'dir. Açınımı bir n-gen ve n üçgenden oluşur (kare dik piramitte bir kare ve dört üçgen).
- Piramit ve koninin temel elemanları: tepe noktası, taban, yan yüzler/yanal yüzey, yükseklik. Dik koninin tepe noktasından taban çemberi üzerindeki bir noktaya çizilen doğru parçası ana doğru (eğik yükseklik) olup yükseklik h, yarıçap r ve ana doğru l için l² = r² + h² bağıntısı vardır.
- Dik koni: tabanı daire, tepe noktası tabanın merkezinden geçen dik üzerinde olan cisimdir; bir dik üçgenin dik kenarlarından biri etrafında döndürülmesiyle de elde edilir. Açınımı bir daire ile bir daire diliminden oluşur; dilimin yay uzunluğu koninin taban çevresine eşittir.
- Çeşitli cisimlerin açınımları: küp 6 kare, dikdörtgenler prizması 6 dikdörtgen, üçgen dik prizma 2 üçgen ve 3 dikdörtgen, silindir 2 daire ve 1 dikdörtgen, dik koni 1 daire ve 1 daire dilimi, üçgen dik piramit 4 üçgendir. Açınımın kenar uzunlukları cismin ayrıt ve çevre uzunluklarıyla eşleştirilir.
- Hacim ve sıvı problemleri: 1 dm³ = 1 litre = 1000 cm³; 1 m³ = 1000 litre. Sıvı bir kaptan diğerine boşaltılınca hacim korunur; yükseklik = hacim / taban alanı bulunur. Bir cisim suya batırılınca su yüksekliğindeki artış, cismin hacmi / kabın taban alanıdır.
- Eritip başka biçime dökme ve parçalara ayırmada hacim korunur; ancak yüzey alanı değişir. Bir cismi bir düzlemle kesince toplam yüzey alanı iki kesit alanı kadar artar. Delik açılan cisimde kalan hacim = tam hacim − delik hacmi.
- Soruda π için değer verilmişse (genellikle 3) ona göre hesap yapılır. Yarıçap ile çap karıştırılmamalı, r² ve r ayrımı iyi yapılmalıdır. Sorulan şeyin yanal alan mı, toplam yüzey alanı mı, hacim mi olduğuna dikkat edilmelidir.
- Görünümler: birim küplerle yapılan yapılarda üst görünüşte küp bulunan her kare bir kez görünür; ön ve yan görünüşte her sütunun/satırın en yüksek kulesi görünür. Boyalı küp problemlerinde n×n×n küpte: üç yüzü boyalı 8, iki yüzü boyalı 12(n − 2), tek yüzü boyalı 6(n − 2)², hiç boyanmayan (n − 2)³ küp vardır.