- beş
- Sınavlar
- MEB-AGS ÖABT
- İlköğretim Matematik Öğretmenliği
MEB-AGS ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Soruları
MEB-AGS ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği (sınavda 50 soru · analiz, cebir, geometri, uygulamalı matematik): 4 konuda 240 özgün soru. Her konunun özeti aşağıda; sorular üyelere açık: ücretsiz giriş yap, uygulamada bildiğin soru bir daha sorulmayacak biçimde çöz.
Uygulamada çözBildiğin soru bir daha sorulmaz, bilmediğin öğrenene kadar tekrar gelirKonular
Analiz
- Fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde tam bir elemana eşler. Birebirlik farklı girdilerin farklı çıktı vermesi, örtenlik ise değer kümesinin tamamının alınmasıdır; ters fonksiyon yalnızca birebir ve örten fonksiyonlarda vardır.
- Bileşke fonksiyonda sıra önemlidir: (f∘g)(x) = f(g(x)) genellikle (g∘f)(x)’ten farklıdır. Bileşkenin tanım kümesi, g’nin çıktısının f’nin tanım kümesinde kaldığı değerlerle sınırlıdır.
- Limit, fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken aldığı değeri anlatır; noktadaki değerden bağımsızdır. Limitin var olması için soldan ve sağdan limitlerin eşit olması gerekir.
- 0/0 ve ∞/∞ belirsizlikleri çarpanlara ayırma, eşlenikle çarpma, bilinen limitler (sin x/x → 1, (1+1/x)ˣ → e) ya da L’Hôpital kuralıyla giderilir. L’Hôpital kuralı yalnızca bu iki belirsizlikte ve türevler arasındaki oranın limiti varsa uygulanır.
- 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0⁰ ve ∞⁰ belirsizlikleri cebirsel düzenleme ya da logaritma alma yoluyla 0/0 veya ∞/∞ biçimine getirilir.
- Bir fonksiyon x₀ noktasında sürekli olması için f(x₀) tanımlı olmalı, limit var olmalı ve limit değeri f(x₀)’a eşit olmalıdır. Süreksizlik kaldırılabilir, sıçramalı ya da sonsuz olabilir.
- Kapalı aralıkta sürekli fonksiyon sınırlıdır ve en büyük ile en küçük değerini alır (Weierstrass). Ara değer teoremi ise iki uç değer arasındaki her değerin alındığını ve işaret değiştiren sürekli fonksiyonun kökü olduğunu söyler.
- Türev, ortalama değişim oranının limitidir: f’(a) = lim (f(x) − f(a))/(x − a). Geometrik olarak teğetin eğimi, fiziksel olarak anlık değişim hızıdır.
- Türevlenebilirlik süreklilik gerektirir ama tersi doğru değildir: |x| fonksiyonu 0’da süreklidir, türevlenemez. Parçalı fonksiyonda türevlenebilirlik için hem süreklilik hem sağ ve sol türevlerin eşitliği gerekir.
- Türev kuralları: toplam, çarpım, bölüm ve zincir kuralı. Üstel ve logaritmik fonksiyonlarda ya da f(x)^g(x) biçiminde ifadelerde logaritmik türev, kapalı fonksiyonlarda kapalı türev kullanılır. Ters fonksiyonun türevi (f⁻¹)’(b) = 1/f’(a) ile bulunur (b = f(a)).
- Rolle teoremi: [a, b]’de sürekli, (a, b)’de türevlenebilir ve f(a) = f(b) ise f’(c) = 0 olan bir c vardır. Ortalama değer teoremi bunun genellemesidir: f’(c) = (f(b) − f(a))/(b − a). Teoremlerin koşulları kontrol edilmeden uygulanamaz.
- Türevin işareti artanlık ve azalanlığı, ikinci türevin işareti ise konkavlığı belirler. f’(c) = 0 kritik noktadır ama ekstremum olması için türevin işaret değiştirmesi gerekir; f(x) = x³ buna karşı örnektir.
- Ekstremum problemlerinde değişkenler arasındaki bağ kullanılarak tek değişkenli bir fonksiyon kurulur, kritik noktalar bulunur ve uç noktalarla karşılaştırılır. İlişkili değişim hızlarında bağıntı zamana göre türetilir.
- Asimptot incelemesi: düşey asimptot paydayı sıfır yapan ve limiti sonsuz olan noktada, yatay asimptot x → ±∞ limitinde, eğik asimptot ise derece farkı bir olan rasyonel fonksiyonlarda ortaya çıkar.
- Belirsiz integral, türevi verilen fonksiyon olan ters türev ailesidir (+C). Temel yöntemler değişken değiştirme, kısmi integral, basit kesirlere ayırma ve trigonometrik dönüşümlerdir.
- Belirli integral Riemann toplamlarının limitidir. Analizin temel teoremine göre ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a) ve d/dx ∫ₐ^(g(x)) f(t)dt = f(g(x))·g’(x) olur.
- Alan hesabında iki eğri arasındaki bölge üstteki eğriden alttakinin çıkarılmasıyla integre edilir; işaret değiştiren fonksiyonda mutlak değer ya da parçalama gerekir.
- Dönel cisimlerin hacminde disk/rondela yöntemi π∫(R² − r²)dx, kabuk yöntemi 2π∫x·f(x)dx ile hesaplanır. Yay uzunluğu ∫√(1 + (f’)²)dx ile bulunur.
- Genelleştirilmiş integraller sonsuz aralıkta ya da sınırsız fonksiyonda tanımlanır. ∫₁^∞ x^(−p)dx yalnızca p > 1 için, ∫₀¹ x^(−p)dx yalnızca p < 1 için yakınsar.
- Dizi, doğal sayılardan gerçek sayılara bir fonksiyondur. Monoton ve sınırlı diziler yakınsar; özyinelemeli dizilerin limiti, yakınsaklık gösterildikten sonra L = g(L) denkleminden bulunur.
- Seri yakınsaklığında gerekli koşul aₙ → 0 olmasıdır ama yeterli değildir (harmonik seri). Geometrik seri |r| < 1 için a/(1−r) toplamına, p-serisi p > 1 için yakınsar. Karşılaştırma, oran, kök, integral ve alterne seri testleri kullanılır.
- Kuvvet serilerinde yakınsaklık yarıçapı oran ya da kök testiyle bulunur, uç noktalar ayrıca denenir. Taylor ve Maclaurin açılımları (eˣ, sin x, cos x, 1/(1−x), ln(1+x)) limit, integral ve türev hesaplarında kullanılır.
- Çok değişkenli fonksiyonlarda kısmi türev, diğer değişkenler sabit tutularak alınan türevdir. Parametrik eğrilerde dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) olur.
- Öğretimde sık görülen yanılgılar: f’(c) = 0 ise ekstremum vardır, aₙ → 0 ise seri yakınsar, sürekli olan her fonksiyon türevlenebilirdir, limit değeri fonksiyon değerine eşittir. Her birini çürüten karşı örneklerin (x³, 1/n, |x|, parçalı tanım) bilinmesi gerekir.
Cebir
- Küme işlemlerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen ve simetrik fark tanımlıdır. De Morgan kuralları (A∪B)′ = A′∩B′ ve (A∩B)′ = A′∪B′ biçimindedir.
- Sonlu kümelerde s(A∪B) = s(A) + s(B) − s(A∩B) bağıntısı geçerlidir. Üç kümede ikili kesişimler çıkarılır, üçlü kesişim eklenir (dahil-hariç ilkesi).
- n elemanlı kümenin 2ⁿ alt kümesi vardır; k elemanlı alt küme sayısı C(n,k)’dır. Kuvvet kümesi, bir kümenin bütün alt kümelerinin kümesidir.
- Bağıntı yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerine göre sınıflandırılır. Yansıyan, simetrik ve geçişli bağıntıya denklik bağıntısı denir.
- Denklik bağıntısı kümeyi ayrık denklik sınıflarına böler. Modüler bağıntı x ≡ y (mod n), tamsayılarda n sınıf oluşturur.
- Kısmi sıralama yansıyan, ters simetrik ve geçişlidir. Bölünebilme bağıntısı doğal sayılarda kısmi sıralamadır; Hasse diyagramı ile gösterilir, her çift karşılaştırılamayabilir.
- Fonksiyonlar: s(A)=m, s(B)=n ise fonksiyon sayısı nᵐ, birebir fonksiyon sayısı P(n,m)’dir. Örten fonksiyon sayısı dahil-hariç ilkesiyle bulunur.
- Her doğal sayı, asal çarpanlarının üslü çarpımı olarak tek türlü yazılır. Bölen sayısı (a+1)(b+1)… ile bulunur; tam kare bölen sayısı çift üslerden gelir.
- EBOB·EKOK = a·b eşitliği iki sayı için geçerlidir. Öklid algoritması EBOB’u ardışık bölmelerle bulur ve Bézout kimliğine ulaştırır.
- ax + by = c denkleminin tamsayı çözümü ancak EBOB(a,b) | c iken vardır. Genel çözümde x, b/EBOB adımlarıyla, y, a/EBOB adımlarıyla değişir.
- Bölünebilme kuralları (3, 9, 11 vb.) modüler aritmetikle temellendirilir. n! sonundaki sıfır sayısı 5’in kuvvetlerinden gelir.
- Modüler aritmetikte kalanlar toplanır ve çarpılır. Fermat teoremi: p asal ve p ∤ a ise aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p). Euler teoremi: EBOB(a,n)=1 ise a^φ(n) ≡ 1 (mod n).
- ax ≡ b (mod n) denkleminin çözümü için EBOB(a,n) | b şarttır; bu durumda mod n tam EBOB(a,n) çözüm vardır. Çin kalan teoremi aralarında asal modüllü sistemleri birleştirir.
- Euler φ fonksiyonu çarpımsaldır: φ(n) = n·∏(1 − 1/p). Z_n’de birimler n ile aralarında asal elemanlardır; n asal ise Z_n cisimdir.
- Polinomlarda bölme algoritması P(x)=B(x)Q(x)+K(x) biçimindedir; kalan, bölenden düşük derecelidir. Kalan teoremi: x−a ile bölümden kalan P(a)’dır.
- Vieta bağıntıları köklerin toplamını ve çarpımını katsayılara bağlar. Rasyonel kök teoremi, kök adaylarını sabit terimin ve baş katsayının bölenlerinden üretir.
- Matrislerde çarpım değişmeli değildir; det(AB)=det A·det B, det(Aᵀ)=det A, det(kA)=kⁿ det A. n×n matris için det(adj A) = (det A)ⁿ⁻¹’dir.
- Matris tersi, determinantı sıfırdan farklı olan kare matrislerde vardır. Cayley–Hamilton teoremi her matrisin kendi karakteristik polinomunu sağladığını söyler.
- Lineer denklem sisteminin çözümü rank koşuluyla belirlenir: rank(A)=rank(A|b)=bilinmeyen sayısı ise tek çözüm, bilinmeyenden küçükse sonsuz çözüm, rankler farklıysa çözümsüzdür.
- Vektör uzayı ve alt uzay: alt uzay sıfır vektörünü içerir, toplama ve skalerle çarpmada kapalıdır. Baz, bağımsız ve germe kümesidir; boyut baz eleman sayısıdır.
- Lineer dönüşümlerde boyut teoremi: dim V = dim ker T + dim Im T. Çekirdek sıfırsa dönüşüm birebirdir.
- Özdeğerler det(A−λI)=0 denkleminin köklerindendir; izi özdeğerlerin toplamına, determinantı çarpımına eşittir. Aᵏ’nın özdeğerleri λᵏ’dır.
- Grup, kapalılık, birleşme, birim ve ters aksiyomlarını sağlayan yapıdır. Lagrange teoremi: alt grubun mertebesi grubun mertebesini böler; elemanın mertebesi de gruba bölenlik eder.
- Devirli grupta alt gruplar mertebe bölenleriyle birebirdir; Z_n’de mertebesi d olan eleman sayısı φ(d)’dir. Permütasyonun mertebesi ayrık çevrim uzunluklarının EKOK’udur; devrik sayısı çift olan permütasyon çifttir.
- Normal alt grup bölüm grubunu kurar. Homomorfizmalarda çekirdek normal alt gruptur ve G/ker φ ≅ Im φ olur (birinci izomorfizma teoremi).
- Halka toplama altında değişmeli grup, çarpmada birleşmeli ve dağılmalı yapıdır. Sıfır bölenli halka tamlık bölgesi değildir; Z_n’de EBOB(a,n)>1 olan sıfırdan farklı elemanlar sıfır bölendir. Ideal, çarpma altında emici alt halkadır.
- Cisim üzerinde ikinci ve üçüncü derece polinom, kökü yoksa indirgenemezdir. Tamlık bölgesi olmayan halkada kök sayısı dereceyi aşabilir.
Geometri
- Üçgenin iç açıları toplamı 180°, dış açısı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Üçgen eşitsizliğine göre bir kenar diğer ikisinin farkından büyük, toplamından küçüktür.
- Alan formülleri: ½·taban·yükseklik, ½ab·sinC, Heron √(u(u−a)(u−b)(u−c)), r·u (iç teğet çember) ve abc/4R (çevrel çember). Aynı alanı farklı yazmak yükseklik ve yarıçap sorularının anahtarıdır.
- İç açıortay karşı kenarı komşu kenarların oranında böler. Kenarortay uzunluğu m² = (2b² + 2c² − a²)/4 ile bulunur ve ağırlık merkezi kenarortayı köşeden 2:1 oranında ayırır.
- Paralel kesenlerde Thales, benzer üçgenlerde kenarlar orantılı, alanlar benzerlik oranının karesi, hacimler küpü ile orantılıdır. Ceva teoremi üç doğrunun tek noktada kesişme koşuludur: oranların çarpımı 1’dir.
- Kosinüs teoremi a² = b² + c² − 2bc·cosA, sinüs teoremi a/sinA = 2R’dir. Açı 120° ise kosinüs terimi işaret değiştirir ve kenar büyür; 60° ile karıştırmak sık yapılan hatadır.
- Dışbükey n-genin iç açıları toplamı (n−2)·180°, köşegen sayısı n(n−3)/2, düzgün n-genin dış açısı 360°/n’dir. Düzgün altıgen altı eş eşkenar üçgenden oluşur.
- Çemberde merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar. Çevre açı gördüğü yayın yarısı, iç açı yayların toplamının yarısı, dış açı yayların farkının yarısıdır. Teğet yarıçapa değme noktasında diktir.
- Noktanın kuvveti: dışarıdaki P noktasından çizilen kesenlerde |PA|·|PB| sabittir ve teğet uzunluğunun karesine eşittir. Çevrel dörtgenlerde Batlamyus teoremi köşegenler çarpımını kenarlara bağlar.
- Analitik düzlemde iki nokta arası uzaklık, bir noktanın doğruya uzaklığı |ax₀ + by₀ + c|/√(a²+b²), paralel doğrular arası uzaklık |c₁ − c₂|/√(a²+b²) ile bulunur. Paralel doğrularda katsayıları önce eşitlemek gerekir.
- İki doğru arasındaki açı tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)| ile hesaplanır. Üçgen alanı koordinatlardan ½|x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)| ile bulunur.
- Çember denklemi (x−a)² + (y−b)² = r²’dir; genel biçimde kareye tamamlama yapılır. Doğrunun çembere teğet olması, merkezin doğruya uzaklığının r’ye eşit olması demektir.
- Parabolde odak ile doğrultmana eşit uzaklık vardır; y² = 4px için odak (p, 0)’dır. Elipste a² = b² + c², odak uzaklıkları toplamı 2a’dır. Hiperbolde c² = a² + b² ve odağın asimptota uzaklığı b’dir.
- Vektörlerde skaler çarpım açıyı (cosθ = a·b/|a||b|), vektörel çarpım alanı verir: |a × b| paralelkenarın alanıdır. Üçgenin alanı bunun yarısıdır.
- Uzayda düzlem ax + by + cz = d denklemiyle verilir; noktanın düzleme uzaklığı |ax₀+by₀+cz₀−d|/√(a²+b²+c²)’dir. Doğru–düzlem açısı, doğrultman ile normal arasındaki açının tümleyenidir.
- İzometriler uzunluğu korur: öteleme, dönme, yansıma ve kayma yansıması. İki paralel doğruya göre yansıma bileşkesi doğrular arası uzaklığın iki katı kadar öteleme, kesişen doğrulara göre yansıma bileşkesi açının iki katı kadar dönmedir.
- Yansıma yönü tersine çevirir (ters izometri), dönme ve öteleme yönü korur (doğru izometri). Tek sayıda yansıma içeren bileşke ters izometridir. Kayma yansımasının sabit noktası yoktur.
- Homoteti oranı k olan benzerlik dönüşümüdür: uzunluklar |k| katına, alanlar k² katına çıkar; doğru kendine paralel doğruya gider. k negatifse görüntü merkezin öbür yanında olur.
- Düzgün n-genin simetri grubu 2n elemanlıdır (n dönme, n yansıma). Dikdörtgenin (kare olmayan) iki, karenin dört simetri ekseni vardır.
- Prizma ve silindir hacmi taban alanı × yükseklik, piramit ve koni hacmi bunun üçte biridir. Koninin yanal yüzeyi açılınca yay uzunluğu taban çevresi, yarıçap ana doğru olan bir daire dilimi çıkar. Kürenin hacmi (4/3)πr³, yüzeyi 4πr²’dir.
- Küpün cisim köşegeni a√3, yüz köşegeni a√2’dir. İçine teğet küre yarıçapı a/2, çevrel küre yarıçapı a√3/2’dir. Düzgün dörtyüzlünün hacmi a³/(6√2)’dir.
- Euler bağıntısı dışbükey çokyüzlülerde K − A + Y = 2’dir. Pick teoremi köşeleri tamsayı noktalarda olan çokgenlerde Alan = İ + K/2 − 1 verir. Beş düzgün çokyüzlü vardır.
- Taksi geometrisinde uzaklık |x₁−x₂| + |y₁−y₂|’dir; taksi çemberi karedir. Hiperbolik geometride bir noktadan doğruya sonsuz paralel geçer ve üçgenin iç açılar toplamı 180°’den küçüktür; küresel geometride paralel yoktur ve toplam 180°’den büyüktür.
- Van Hiele düzeyleri sırayla görselleştirme, analiz, sıralama (ilişkilendirme), tümdengelim ve kesinliktir. Düzeyler atlanamaz; öğretim öğrencinin düzeyine uygun etkinliklerle bir üst düzeye taşınır.
Uygulamalı Matematik
- Çarpma ilkesi: ardışık bağımsız seçimler m ve n yolla yapılıyorsa toplam m·n yol vardır; "veya" ile ayrık durumlar toplanır, "ve" ile birbirini izleyen seçimler çarpılır.
- Permütasyon sıralı seçimdir: P(n,r)=n!/(n−r)!. Kombinasyon sıra gözetmez: C(n,r)=n!/(r!(n−r)!). Soruda sıranın önemi olup olmadığına karar vermek ilk adımdır.
- Tekrarlı permütasyonda aynı türden öğeler bölünür: n!/(n₁!·n₂!·…). Yuvarlak masada dönmeyle çakışan düzenler tek sayılır: (n−1)!.
- Yan yana durma kısıtı, öğeleri blok sayıp blok içi sıralamayla çarpmayı gerektirir; "yan yana olmama" tümleyenle bulunur: toplam − yan yana.
- Dahil etme–hariç tutma: |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|. Üç küme için ikili kesişimler çıkarılır, üçlü kesişim eklenir.
- Güvercin yuvası ilkesi: n nesne k yuvaya yerleştirilirse en az bir yuvada ⌈n/k⌉ nesne vardır. Varlığı garanti eder, hangi yuvada olduğunu söylemez.
- Binom açılımı: (a+b)ⁿ=ΣC(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ. Katsayı sorularında a ve b’nin katsayıları ve işaretleri kuvvetlerle birlikte alınmalıdır.
- Olasılık = istenen durum sayısı / eş olasılıklı tüm durum sayısı. Önce örnek uzay doğru kurulmalı; sonuçlar eşit olasılıklı değilse sayma yerine ağırlıklandırma gerekir.
- Koşullu olasılık P(A|B)=P(A∩B)/P(B) şeklindedir. Koşul, örnek uzayı daraltır; P(A|B) ile P(B|A) genelde farklıdır.
- Toplam olasılık ve Bayes kuralı: P(B)=ΣP(Aᵢ)P(B|Aᵢ), P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B). Önce kolu (kaynağı) seçen, sonra sonucu veren ağaç şeması kurulur.
- Bağımsız olaylarda P(A∩B)=P(A)P(B) olur. Ayrık olaylar kesişimi boş olan olaylardır; olasılığı sıfır olmayan iki olay hem ayrık hem bağımsız olamaz.
- Binom dağılımı: n bağımsız denemede başarı olasılığı p ise tam k başarı olasılığı C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ’dır; beklenen değer np, varyans np(1−p)’dir.
- Beklenen değer E(X)=Σxᵢ·P(xᵢ) uzun vadeli ortalamadır. Geometrik dağılımda ilk başarıya kadar beklenen deneme sayısı 1/p’dir.
- Geometrik olasılık, sonlu saymanın yerine uzunluk, alan ya da hacim oranını kullanır; sürekli düzgün dağılımlarda geçerlidir.
- Merkezi eğilim ölçüleri: aritmetik ortalama tüm değerlerden etkilenir, medyan sıralı verinin ortasıdır ve uç değerden az etkilenir, mod en sık değerdir.
- Dağılım ölçüleri: açıklık, çeyrekler açıklığı, varyans ve standart sapma. Örneklem varyansında n−1’e, anakütle varyansında n’ye bölünür.
- Veriler a ile çarpılıp b eklenirse ortalama a·x̄+b olur; standart sapma |a| katına, varyans a² katına çıkar, b yayılımı değiştirmez.
- Z puanı z=(x−μ)/σ ile bulunur; farklı ölçekli sonuçları karşılaştırmayı sağlar. Normal dağılımda yaklaşık %68, %95 ve %99,7 sırasıyla 1, 2 ve 3 σ içindedir.
- Korelasyon katsayısı r, −1 ile 1 arasındadır ve doğrusal ilişkiyi ölçer; ilişki neden–sonuç demek değildir. Regresyon doğrusu ŷ=a+bx, b=Sxy/Sxx ile bulunur.
- Grafik okuryazarlığı: eksenin başlangıcı, ölçek ve grafik türü, yorumu değiştirir. Kesik eksenler farkı olduğundan büyük gösterir.
- Sayısal yöntemler: Newton–Raphson xₙ₊₁=xₙ−f(xₙ)/f′(xₙ) ile, yarılama ise işaret değiştiren aralığı ikiye bölerek kök arar. Yamuk kuralı integrali yamuk alanlarıyla yaklaşıklar.
- Matematik öğretiminde kavram yanılgısı, önceki bilginin uygun olmayan bağlama taşınmasından doğar (çarpma büyütür, bölme küçültür, uzun ondalık büyüktür gibi) ve öğrencinin düşüncesi ciddiye alınarak değiştirilir.
- Somut–görsel–simgesel (Bruner: eylemsel–imgesel–simgesel) sıra, soyut kavramı anlamlı kılar. Çoklu temsil (model, tablo, grafik, sembol) arasında geçiş kavramsal anlamayı güçlendirir.
- Skemp araçsal (kuralı uygulama) ve ilişkisel (nedenini bilme) anlamayı ayırır; Polya’nın dört basamağı problemi anlama, plan yapma, uygulama ve geriye dönüp bakmadır.
- Olasılık öğretiminde sık görülen yanılgılar: kumarbaz yanılgısı, eşit olasılık varsayımı ve küçük örneklemden kesin sonuç çıkarmadır. Çok sayıda deney ve örnek uzayı çizimi bunları azaltır.