- beş
- Sınavlar
- KPSS Ön Lisans
- Matematik
KPSS Ön Lisans Matematik Soruları
KPSS Ön Lisans Matematik (sınavda 30 soru, geometri dahil): 12 konuda 1.159 özgün soru. Her konunun özeti aşağıda; sorular üyelere açık: ücretsiz giriş yap, uygulamada bildiğin soru bir daha sorulmayacak biçimde çöz.
Uygulamada çözBildiğin soru bir daha sorulmaz, bilmediğin öğrenene kadar tekrar gelirKonular
- Temel Kavramlar ve Sayılar
- Bölme, Bölünebilme, EBOB–EKOK
- Rasyonel ve Ondalık Sayılar
- Üslü ve Köklü Sayılar
- Denklemler, Eşitsizlikler ve Mutlak Değer
- Oran ve Orantı
- Sayı, Kesir, Yaş ve İşçi Problemleri
- Yüzde, Kâr–Zarar, Karışım ve Hareket Problemleri
- Kümeler, İşlem ve Fonksiyonlar
- Sayma ve Olasılık
- Sayısal Mantık
- Geometri
Temel Kavramlar ve Sayılar
- Sayı kümeleri: Sayma sayıları 1’den, doğal sayılar 0’dan başlar; tam sayılar negatifleri de kapsar. Her tam sayı a1 biçiminde yazılabildiği için rasyoneldir.
- Rakam: 0, 1, …, 9 simgeleridir; çok basamaklı bir sayının en soldaki rakamı 0 olamaz.
- Çözümleme: Üç basamaklı ABC sayısı 100A + 10B + C’dir; yüzler ve birler basamağı yer değiştirince sayı 99 (A - C) kadar değişir.
- Tek–çift: Tek ± tek ve çift ± çift çifttir; çarpım tekse bütün çarpanlar tektir, çarpım çiftse en az bir çarpan çifttir. a ile a^n, a + b ile a - b aynı paritededir.
- İşaret: Çarpım ya da bölüm negatifse çarpanlar zıt işaretli, pozitifse aynı işaretlidir; pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarılınca sonuç pozitiftir.
- Asal sayı: Yalnızca 1’e ve kendisine bölünen, 1’den büyük doğal sayıdır. 1 asal değildir, 2 tek çift asaldır; asal rakamlar 2, 3, 5 ve 7’dir.
- Ardışık sayılar: Terim sayısı = (son terim − ilk terim) : artış + 1; toplam = (ilk terim + son terim) : 2 × terim sayısı. 1 + 2 + + n = n(n+1)2.
- Faktöriyel: n! = n (n-1)!, 0! = 1! = 1; faktöriyel toplamlarında en küçük faktöriyel ortak paranteze alınır.
Bölme, Bölünebilme, EBOB–EKOK
- Bölme: Bölünen = bölen × bölüm + kalan ve 0 ≤ kalan < bölen; kalan hiçbir zaman bölene eşit ya da ondan büyük olamaz.
- 2, 5 ve 10: Son rakama bakılır; 2 için son rakam çift, 5 için 0 ya da 5, 10 için 0 olmalıdır.
- 4 ve 8: Son iki basamağın oluşturduğu sayı 4’ün, son üç basamağın oluşturduğu sayı 8’in katı olmalıdır.
- 3 ve 9: Rakamlar toplamı 3’ün (9’un) katı olmalıdır; bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
- 11: Birler basamağından başlayarak rakamlar sırayla +, −, +, … işaretleriyle toplanır; sonuç 11’in katıysa sayı 11 ile bölünür.
- Bileşik bölen: Bölen aralarında asal çarpanlara ayrılır (36 = 4 · 9, 15 = 3 · 5) ve iki kural birlikte uygulanır; 36 = 6 · 6 gibi ayrımlar yanlış sonuç verir.
- Bölen sayısı: n = a^x b^y c^z (a, b, c farklı asallar) ise pozitif bölen sayısı (x+1)(y+1)(z+1)’dir.
- EBOB: Eşit parçalara bölme, kare karolarla döşeme ve köşelerden başlayan eşit aralıklı dikimde en büyük ortak bölen kullanılır.
- EKOK: Periyodik olaylar EKOK kadar zamanda bir çakışır; k’ıncı çakışma, ilk çakışmadan (k − 1) · EKOK sonra olur. EBOB(a, b) EKOK(a, b) = a b.
Rasyonel ve Ondalık Sayılar
- Toplama–çıkarma: Paydalar eşitlenir, paylar toplanır ya da çıkarılır: ab + cd = ad + bcbd.
- Çarpma–bölme: Paylar ve paydalar kendi aralarında çarpılır; bölmede ikinci kesir ters çevrilip çarpılır: ab : cd = ab dc.
- İşlem önceliği: Parantez, üs, çarpma–bölme, toplama–çıkarma sırası izlenir; bölme toplamadan önce yapılır.
- Bileşik kesir: Önce ana kesir çizgisi belirlenir; merdiven biçimindeki kesirler en alttan başlanarak sadeleştirilir.
- Ondalık sayı: Virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfırlı paydaya çevrilir (0,36 = 36100); çarpımda virgülden sonraki basamak sayıları toplanır: (0,3)^2 = 0,09.
- Devirli ondalık: Kesir = (virgülsüz sayı − devretmeyen kısım) : (devreden basamak kadar 9, ardından devretmeyen ondalık basamak kadar 0); 0,3 = 39, 0,16 = 16 - 190.
- Sıralama: Paydalar ya da paylar eşitlenir; 1’e yakın kesirlerde 1’e tamamlayan kesirler karşılaştırılır, tamamlayanı küçük olan kesir büyüktür.
- Sayı doğrusu: İki nokta arasındaki uzaklık büyük sayı − küçük sayıdır; bu uzaklık n eş parçaya ayrılırsa her parça uzaklık : n olur.
- Özdeşlik: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ondalık sayılarda da hesabı kısaltır.
Üslü ve Köklü Sayılar
- Çarpma ve bölme: a^m a^n = a^m+n, a^ma^n = a^m-n, (a^m)^n = a^m n.
- Özel üsler: a^0 = 1 (a 0), a^-n = 1a^n, a^1 = a.
- Toplama: Aynı tabanlı üslü sayılar toplanırken üsler toplanmaz, ortak paranteze alınır: 3 2^5 + 2^5 = 4 2^5 = 2^7.
- İşaret: Negatif tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir; -2^4 ile (-2)^4 farklıdır.
- Üslü denklem: Tabanlar eşitlenip üsler eşitlenir; 9^x ile 3^x birlikte geçiyorsa 3^x = t alınarak ikinci dereceden denkleme dönülür.
- Sıralama ve bilimsel gösterim: Üsler eşitlenince tabanı büyük olan sayı büyüktür; bilimsel gösterim a 10^n (1 a < 10) biçimindedir.
- Köklü sayılar: a b = a b, a^2 b = ab (a 0), a^2 = |a|.
- Toplama: Yalnızca kök içleri aynı olan köklü sayılar toplanır: 23 + 53 = 73.
- Paydayı kökten kurtarma: 1a = aa; eşlenikle ca - b = c(a + b)a - b.
Denklemler, Eşitsizlikler ve Mutlak Değer
- Birinci derece denklem: Paydalar EKOK ile çarpılarak yok edilir; parantez açılırken her terim çarpılır, önünde eksi olan parantezde bütün işaretler değişir.
- Denklem sistemi: Yok etme ya da yerine koyma ile çözülür; istenen ifade (x + y gibi) çoğu zaman değişkenleri tek tek bulmadan da elde edilir.
- İki kare farkı ve tam kare: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), (a b)^2 = a^2 2ab + b^2.
- Küp özdeşlikleri: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2), a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).
- Eşitsizlik: Her iki taraf negatif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse yön değişir; aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir, çıkarılamaz.
- İşaret ve ters alma: 0 < t < 1 ise t^2 < t; aynı işaretli iki sayıda a < b ise 1a > 1b olur.
- Aralık: < ile verilen açık uç dahil edilmez, ile verilen kapalı uç dahil edilir; negatif katsayıyla çarpınca uçların yeri de değişir.
- Mutlak değer: x 0 ise |x| = x, x < 0 ise |x| = -x; |a - b| sayı doğrusunda a ile b arasındaki uzaklıktır.
- Mutlak değerli denklem: |A| = B için önce B 0 olmalıdır; her durumdan çıkan kök kendi koşulunda sınanır, sağlamayan kök elenir.
Oran ve Orantı
- Orantı: ab = cd ise a d = b c olur (içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir).
- Orantı sabiti: ax = by = cz = k ise a = xk, b = yk, c = zk yazılır; ayrıca a + b + cx + y + z = k olur.
- Doğru orantı: Biri kaç katına çıkarsa öteki de o kadar katına çıkar; yx = k sabittir (sabit hızda yol ile süre gibi).
- Ters orantı: Biri kaç katına çıkarsa öteki o kadar kata bölünür; x y = k sabittir (işçi sayısı ile iş süresi, belirli yolda hız ile süre).
- Oranları birleştirme: a : b ile b : c verilirse ortak terim b, iki değerinin EKOK’una eşitlenir; ör. 2 : 3 ve 4 : 5 ise 8 : 12 : 15.
- Doğru orantılı paylaştırma: Toplam, oran sayılarının toplamına bölünerek bir birim bulunur; her pay kendi oran sayısıyla çarpılır.
- Ters orantılı paylaştırma: Sayıların çarpmaya göre tersleriyle paylaştırılır; ör. 2, 3, 6 ile ters orantı 12 : 13 : 16 = 3 : 2 : 1 olur.
- Bileşik orantı: İşçi sayısı × günlük saat × gün sayısı, yapılan iş miktarıyla doğru orantılıdır; iki durum bu oranla birbirine bağlanır.
- Birim değer ve adet: Toplam tutar = birim fiyat × adet; iki grubun harcamaları oranı, fiyat oranı ile adet oranının çarpımıdır.
Sayı, Kesir, Yaş ve İşçi Problemleri
- Denklem kurma: Bilinmeyene harf verilir; “fazlası” toplama, “eksiği” çıkarma, “katı” çarpma olarak yazılır.
- Kesir problemleri: “Kalanın” kesri, bir önceki adımdan arta kalan miktar üzerinden alınır; bütünü paydaların EKOK’u kadar birim seçmek işlemi kolaylaştırır.
- Yaş farkı: İki kişinin yaşları arasındaki fark hiç değişmez; “kaç katı” ilişkisi ise zamanla değişir.
- Toplam yaş: t yıl sonra n kişinin yaşları toplamı n t artar; t yıl önce ise n t eksiktir.
- Ortalama: Toplam = ortalama × kişi sayısı. Zaman geçince herkesin yaşı, dolayısıyla ortalama da aynı miktarda artar.
- İşçi problemleri: Bir işi a günde bitiren kişi bir günde işin 1a kadarını yapar; birlikte çalışanların hızları toplanır: 1a + 1b = 1t.
- Havuz problemleri: Dolduran musluğun hızı artı, boşaltan giderin hızı eksi alınır: 1a - 1b.
- Dizilim: Bir sıradaki n nesne arasında n - 1 aralık vardır; iki uçta da boşluk bırakılırsa n + 1 boşluk olur.
- Tam sayı koşulu: Kişi, soru, ürün sayıları doğal sayıdır; bu koşul ve verilen üst sınırlar bazı sonuçları olanaksız kılar.
Yüzde, Kâr–Zarar, Karışım ve Hareket Problemleri
- Yüzde: Bir miktarın yüzde p kadarı, miktar p100 ile çarpılarak bulunur; yüzdenin hangi bütüne göre alındığına dikkat edilir.
- Ardışık değişim: Yüzde a zammın çarpanı 1 + a100, yüzde b indirimin çarpanı 1 - b100 olur; aynı oranda zam ve indirim fiyatı başa döndürmez.
- Yüzde puan: Bir oranın %20’den %25’e çıkması 5 puanlık artıştır; aynı değişim, yüzde değişim olarak %25’lik artıştır.
- Kâr–zarar: Kâr ve zarar yüzdesi alış (maliyet) fiyatı üzerinden hesaplanır; kâr yüzdesi k ise satış fiyatı = alış fiyatı × (1 + k100).
- Karışım: Bileşen miktarı = oran × karışım miktarı. Su eklenince ya da buharlaşınca çözünen madde değişmez, yalnızca toplam değişir.
- Hareket: Yol = hız × zaman. Karşılıklı gidenler hızlarının toplamıyla yaklaşır; aynı yönde gidenlerde hızların farkı alınır.
- Farklı kalkış saati: Önce yola çıkanın tek başına aldığı yol düşülür, kalan yol için ortak hareket kurulur.
- Dairesel pist: Zıt yönde iki karşılaşma arasında ikisi birlikte bir tur atar; aynı yönde yakalamak için hızlı olan bir tur fazla koşar.
- Ortalama hız: Toplam yol / toplam zaman; bölümlerdeki hızların aritmetik ortalaması alınmaz.
Kümeler, İşlem ve Fonksiyonlar
- Birleşim ve kesişim: A B iki kümedeki bütün elemanları, A B yalnızca ortak elemanları içerir.
- Fark: A B, A’da olup B’de olmayan elemanlardan oluşur; A B ile B A genellikle farklı kümelerdir.
- İki kümede eleman sayısı: s(A B) = s(A) + s(B) - s(A B); “yalnız A” bölgesi s(A) - s(A B) kadardır.
- Üç kümede eleman sayısı: s(A B C) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A B) - s(A C) - s(B C) + s(A B C).
- Venn şeması: Her bölge yalnızca bir kez sayılır; bir kümenin eleman sayısı, o dairenin içindeki bütün bölgelerin toplamıdır.
- Alt küme: n elemanlı bir kümenin 2^n alt kümesi vardır.
- Tanımlı işlem: Kural harfi harfine uygulanır, parantez içi önce hesaplanır; işlem değişmeli değilse sıra değiştirilemez.
- Fonksiyonun değeri: f(ax + b) biçiminde verilen fonksiyonda f(k) için önce ax + b = k eşitliğini sağlayan x bulunur.
- Bileşke: (f g)(x) = f(g(x)); önce g, sonra f uygulanır ve genellikle f g g f olur. (f f)(x) ile [f(x)]^2 farklıdır.
- Döngü: Art arda uygulamada değerler tekrar etmeye başlarsa istenen adım, döngü uzunluğuna bölümden kalanla bulunur.
Sayma ve Olasılık
- Toplama yoluyla sayma: Birbirini dışlayan seçeneklerden yalnızca biri yapılacaksa (“ya … ya …”) seçenek sayıları toplanır.
- Çarpma yoluyla sayma: Art arda yapılan seçimlerde (“hem … hem …”) her adımdaki seçenek sayıları çarpılır.
- Permütasyon: n farklı nesne bir sıraya n! şekilde dizilir; n nesneden r tanesinin sıralı seçimi P(n, r) = n!(n-r)! ile bulunur.
- Tekrarlı permütasyon: Özdeş nesneler varsa diziliş sayısı n!n_1! n_2! olur.
- Kombinasyon: Sıranın önemsiz olduğu seçimlerde nr = n!r!\,(n-r)! kullanılır; farklı gruplardan yapılan seçimler çarpılır.
- Yan yana olma: Yan yana olması istenenler tek blok sayılır ve blok kendi içinde de sıralanır; “yan yana olmasın” koşulunda bu sayı tüm dizilişlerden çıkarılır.
- Rakam problemleri: Önce kısıtlı basamak doldurulur (ilk basamak 0 olamaz, son basamak bölünebilme koşuluna uyar); gerekirse durumlara ayrılır.
- Olasılık: Eş olası durumlarda bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranıdır; 0 P 1.
- Bağımsız olaylar: Olasılıklar çarpılır. “En az bir” olasılığı tümleyenle bulunur: 1 − (hiçbirinin gerçekleşmeme olasılığı).
Sayısal Mantık
- Daire grafiği: Merkez açılar miktarlarla doğru orantılıdır; tam açı (360°) toplamı gösterir. Önce 1°’nin karşılığını bulun; bir miktar değişince toplamın da değiştiğini unutmayın.
- Sütun ve çizgi grafiği: Değerleri eksenden dikkatle okuyun. Yüzde değişim yeni - eskieski 100 ile bulunur; en büyük artış ile en büyük yüzde artış farklı olabilir.
- Tablo: Satır ve sütun toplamlarındaki eşitlikleri (korunum) kullanarak önce tek bilinmeyeni olan satır ya da sütunu çözün.
- Tanımlı kural (kod, işlem, makine): Kuralı önce verilen örnekte doğrulayın. Geri yönde tüm olası girdileri tarayın; her durumda korunan ilişkiyi arayın.
- Ayraçsız dizi: Kod uzunluklarının toplamı ve tekrar yasağı parçalamayı sınırlar. İlk uyan kısa parçaya hemen bağlanmayın; çıkmaza girerseniz geri dönün.
- Yerleştirme bulmacası: En kısıtlı hücreden başlayın. Tek–çift ayrımı ve “kenar toplamlarının toplamı” gibi değişmezler aday sayısını hızla azaltır.
- Gruplama ve sayı sınıfları: Birbirinin katı olan sayılardan oluşan en uzun zincir, gereken en az grup sayısını verir. Tanımı her adayda tek tek sınayın.
- Hamle ve iki durumlu düzenekler: Aynı düğmeye iki kez basmak etkisizdir. Son hamleyi kimin yaptığı, toplam hamle sayısının tek mi çift mi olduğunu belirler.
- Güvercin yuvası: n nesne k gruba dağıtılırsa en az bir grupta nk nesne bulunur. “Kesinlikle” sorularında en kötü durumu kurun.
- Takvim ve periyot: Ortak tekrarlar EKOK ile bulunur. Geçen gün sayısının 7’ye bölümünden kalan, haftanın gününü verir.
Geometri
- Açılar: Doğru açı 180°, tam açı 360°; ters açılar eşittir; paralel iki doğruyu kesen doğruda yöndeş ve iç ters açılar eşittir.
- Üçgende açılar: İç açılar toplamı 180°; bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
- Kenar–açı bağıntısı: Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur; üçgen eşitsizliği |b - c| < a < b + c.
- Pisagor: Dik üçgende a^2 + b^2 = c^2; sık görülen üçlüler 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17.
- Özel dik üçgenler: 30°–60°–90° üçgeninde kenarlar 1 : 3 : 2; 45°–45°–90° üçgeninde 1 : 1 : 2.
- Alan: Üçgen taban yükseklik2; dikdörtgen a b; paralelkenar taban yükseklik; yamuk (a + c) h2.
- Çokgenler: n kenarlı çokgende iç açılar toplamı (n - 2) 180°, dış açılar toplamı 360°.
- Çember ve daire: Çevre 2 r, alan r^2; merkez açı gördüğü yaya eşittir, çevre açı gördüğü yayın yarısıdır.
- Teğet: Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir; yarıçap çizilerek dik üçgen kurulur.
- Katı cisimler: Dikdörtgenler prizması V = a b c; küp V = a^3; silindir V = r^2 h.